Определение производной является одним из основных понятий в математическом анализе. Оно используется для изучения изменения функции на малом интервале. Производная функции в точке определяет скорость изменения значения функции при изменении аргумента в этой точке.

Формально, производная функции f(x) в точке x=a определяется как предел отношения изменения значения функции к изменению её аргумента при стремлении последнего к нулю:

f'(a) = lim [f(a+h)-f(a)]/h , где h -> 0.

Графически, производная в точке a показывает наклон касательной линии к графику функции в этой точке. Если значение производной положительное, то график функции возрастает; если отрицательное - убывает; если равно нулю - имеет экстремум (максимум или минимум) в этой точке.

Производные играют ключевую роль не только в математике, но и в различных областях науки, техники и экономики. Они позволяют оптимизировать процессы и давать количественную оценку различным явлениям и зависимостям. Понимание определения производной является необходимым шагом для понимания более сложных концепций дифференциального исчисления.